Ecuaciones de segundo grado

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📖En el libro: Capítulo 3, páginas 42 a 51. Resuelve los ejercicios de esas páginas después del quiz.

Una ecuación de segundo grado es toda ecuación que puede escribirse en la forma

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales llamados coeficientes.

La fórmula general

Las soluciones (o raíces) se obtienen con la fórmula general:

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

La expresión bajo la raíz, $Δ = b^{2} - 4 a c$ , se llama discriminante y nos dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación:

Discriminante	Soluciones reales
$Δ > 0$	Dos soluciones distintas
$Δ = 0$	Una solución (doble)
$Δ < 0$	Ninguna

Ejemplo resuelto

Resolver $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Identificamos $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ . Calculamos el discriminante:

Δ = (- 5)^{2} - 4 (1) (6) = 25 - 24 = 1

Como $Δ > 0$ , hay dos soluciones:

x = \frac{5 \pm 1}{2} ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = 2

Verificación: $3^{2} - 5 (3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ . Correcto.

Factorización rápida

Cuando $a = 1$ , podemos buscar dos números que sumen $- b$ y multipliquen $c$ . En el ejemplo anterior: $2 + 3 = 5$ y $2 \cdot 3 = 6$ , por lo tanto

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Truco de examen: si el discriminante es un cuadrado perfecto, la ecuación se puede factorizar con números enteros. Pruébalo antes de usar la fórmula.

Práctica

4 preguntas al azar. Necesitas 70 % para completar la lección. Puedes repetirlo las veces que quieras.

1
¿Cuáles son las raíces de $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ?
2
Si una raíz de $x^{2} + p x + 12 = 0$ es $x = 3$ , ¿cuánto vale $p$ ?
3
Calcula el discriminante de $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ .
4
La ecuación $x^{2} - 6 x + k = 0$ tiene una única solución real. ¿Cuánto vale $k$ ?

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